課程簡介："對數函數的 微分 "由中華科技大學李柏堅老師講授，適合剛進入大學新鮮人來觀看，內容生動又有趣， 例題 簡單又好記，相信同學看完之後， ... ... <看更多>
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ln微分例題 在 Calculus - 指對數 的時間交通和停車住宿
其中f(x)=ex，而f′(x) 為「導函數」; dx 為「自變數的微分」 ... ⇒y=elnax=ex⋅lna; 對y 作微分. ⇒dy=ex⋅lna⋅d(xlna) ... 補充例題. Example. ... <看更多>
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ln微分例題 在 Re: [微積] 請問一個最基本的問題lnx - 看板Math 的時間交通和停車住宿
原文43
我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說，不然解釋半天你也不會相信
原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :)
f(x+h) - f(x)
導函數的定義是 f'(x) = lim ──────
h→0 h
既然 三角函數 多項式函數 我都可以帶這個定義來求導函數
那對數呢??
x
f(x) = log f'(x) = ???
a
當然囉帶入定義吧~
(x + h) x
log - log
a a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h
因為對數律 相減 變成 相除
x + h
(────)
log x
a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h
因為對數律 外面相乘 變成 次方
1
──
h h
(1 + ──)
= lim log x
h→0 a
h 1 x
感覺有點怪怪的 裡面有 ── ， 外面只有 ── 。 那我讓他乘 ──
x h x
1
──
h h
x (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
↑ 反正乘 1 結果不會變 。 所以乘個 x 就要除個 x
利用對數律，把分子的 x 移進去次方裡面
x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
這時候產生了一個非常神奇的東西 e
1/h
請問 lim (1 + h) = ???
h→0
有人說， 1 加上微量，然後在乘上無窮次方還是 1
有人說， 不對! 1 加上微量的無窮次方，然後算出來會變成 2
有人又說，錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方，會造成無限大
啾~~~~~~靜!誰才是對的呢?
這時候 Euler 就跑出來叫啦~
他說，這個簡單，利用二項式展開
m m m n m m m 2 m 3 m n
(1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ...
n=0 n 0 1 2 3 n
C 就是算組合數
m m!
C = ───── ( ! 表示 階乘 )
n (m-n!)(n!)
所以依照二項式定理
1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2
(1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ...
0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)!
1 1 1
= ── + ── + ── + ...
0! 1! 2!
1 1 1 1 1 1
= ── + ── + ── + ── + ── + ── +...
0! 1! 2! 3! 4! 5!
= 2.718281828...
然而這個數字我們就簡略以 e 來代替
---回到這個式子
x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a
我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數
e
log
a 1 x
= ─── = ──── (其中 log 寫成自然對數 ln )
x x lna e
這下好啦 ! 我知道對數微分了
那我好像知道一件事情了!
n 1 n + 1
平常的多項式積分 ∫ x dx = ── x + C
n + 1
但是遇到 n = -1 就不能運算了!
1
還好今天我看到對數的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常數)
x lna
那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ???
很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。
那我 ln a 的底數，就是 2.718281828.... = e
1
那我也把真數 a 令為 e 就會得到 ── 了
x
x 1
那我既然 D log = ────
a x lna
a = e 的時候??
x 1
D log = ──── ??
e x
1
d( ln x) = ─── dx
x
原PO的問題就迎刃而解啦!!!
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